Epsilon, ¿que es? y porque queremos encontrarla

La Epsilon es un concepto matematico que significa lo mas pequeño que uno pueda imaginar, es algo asi como el inverso de infinito, como todo estudiante sabe, el concepto de infinito es la cantidad mas grande que pueda imaginar, pero con la plena certeza de que hay un numero mas grande que ese, en este caso, la epsilon es lo mas pequeño que se pueda uno imaginar, pero sabiendo que existe un numero aun menor.

Es muy util cuando se usa para medir distancias, porque en ese caso uno puede decir que se puede aproximar tanto como uno desee a algo, usualmente al cero:

Cuando estamos en el Calculo, usualmente deseamos encontrar epsilones, la razon, simple, con las distancias podemos acotar diferencias con ellas, y cuando una diferencia de dos cosas se hace tan pequeña como queramos, entonces podemos afirmar que ambas cosas son una misma, o bien, si decimos que podemos acercar una funcion tanto como querramos a un punto dado, podemos afirmar que esta tiende a un limite dado, o a que una derivada cumple las condiciones estrictas para ser derivada. O bien en sucesiones, cuando definimos la Convergencia de Cauchy, la hacemos por medio de una Epsilon, diciendo que si hay un termino de la sucesion, a partir del cual, las distancias entre cualesquiera dos terminos subsecuentes son tan pequeñas como nosotros querramos, entonces la sucesion converge, es importantisimo encontrar la Epsilon para demostrar que la sucesion converge o que la funcion es continua o que el limite existe o que la diferencia de areas de dos curvas es tan pequeña como querramos, o lo que nosotros querramos definir.

Es en esta forma que el concepo de epsilon se vuelve muy util, al encontrarla, estamos mostrando que una distancia puede ser tan pequeña como querramos, tan pequeña que puede ser casi cero, y de esta forma estamos Validando la afirmacion matematica que estemos haciendo.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

Mathematica 1 Carta de fuentes

Una rapida vista de la Fuente Mathematica 1, ordenada de acuerdo al teclado latinoamericano.

Argumentacion, El Sheik busca novia

¿Como convenceriamos a una mujer de que sea nuestra novia?, de la forma tradicional:

1. Dandole flores
2. Dandole chocolates
3. Invitandola a salir
4. Siendo corteses
5. Etc.

Todos estos son Argumentos, organizados logicamente, que nos permiten convencer a alguien de que hay Amor en el Aire, por supuesto que debemos de ir en un orden adecuado, usualmente las flores van antes del anillo de compromiso y primero la invitas a salir al cine en vez de ir a comer con sus padres, los Argumentos deben de llevar un orden, por ejemplo:

1. Debes de gustarle
2. Le das flores
3. Platicas con ella
4. La invitas al Cine
5. La invitas a comer con frecuencia
6. Pasas tiempo de calidad con ella

Si alguno de ellos falla, puede que no funcione la cosa, por ejemplo: si no le gustas o tiene novio o es lesbiana, usualmente esto significa que los siguientes pasos son absurdos, a estos argumentos fundamentales, se les llama condicionales, si no se cumplen, el resto de los argumentos no tienen sentido y el proceso logico se desmorona, no podra ser tu novia.

En cambio si los argumentos se plantean de forma correcta, puedes llegar a una conclusion determinada, de hecho el gran arte de los seductores es en plantear su seduccion de forma tan atractiva que una mujer no pueda resistirse.

En una Demostracion Matematica, se usa mas o menos el mismo metodo, pero en este caso, los argumentos son conceptos matematicos ya probados o evidentes, asi por ejemplo, si deseas Demostrar la convergencia de una sucesion, es mejor recopilar todos los teoremas, corolarios y definiciones necesarias para llegar a ese punto.

Existe, el poder de la particularizacion

Cuando ponemos el simbolo de Existe, estamos afirmando que de acuerdo a nuestra construccion logica, hay algo, y no solo lo hay, DEBE de haberlo, es el equivalente matematico a mostrar los pelos de la burra parda.

El simbolo de Existe:

Significa que podemos predecir logicamente la Existencia de un elemento particular en un conjunto:

Que sera el subsecuente logico de una afirmacion que nosotros hemos hecho, o bien que cumplira alguna condicion que hayamos predicho, pero sea como sea, este elemento EXISTE en el conjunto y es un elemento particular y posiblemente unico (aunque despues profundizaremos mas en la unicidad).

Heuristica.

Es como afirmar que si el Sheik se porta muy bien con su esposa, le compra el vestido y los zapatos que ella vio en el aparador y que ademas la acompaño a visitar a la odiosa familia politica y se porto como ella deseaba, entonces, con toda seguridad, ella le hara su comida favorita, en este caso b es una arrachera marinada.

Ejemplo:

Otra vez tomemos la continuidad:

En este caso podemos afirmar que para que se cumpla la definicion debe de existir una delta:

Que depende de la Epsilon que yo coloque, y que cumplira las condiciones que le siguen.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

Demostrar no es Calcular

En Mexico hemos sido victimas de un metodo educativo que reduce las Matematicas a un simple ejercicio numerico, despeja esto y aquello y al final obtendras un numero, eso no son Matematicas sino calculo numerico, esa mala costumbre nos deja innermes ante lo que verdaderamente son las Matematicas, una construccion logica.

Cuando llegamos a la Facultad de Ciencias nuestros conocimientos matematicos son muy pobres, de hecho solo podemos hacer lo que hace cualquier calculadora, mas lento y menos exacto, pero no sabemos pensar ordenada, estructurada y logicamente, el obtener estas cualidades es el objetivo secundario de las materias de Calculo, porque son estas las habilidades que hacen a un buen cientifico.

Digamos que estas en algun area de Investigacion de Frontera y descubres que un Tornado, es un fenomeno que no se puede describir con mecanica angular solamente, y que necesitas una descripcion geometrica tetradimensional compleja, ademas de las ya conocidas ecuaciones de movimiento giratorio, entonces, tienes que desarrollar una nueva matematica que sea util para describir el fenomeno  y que pueda convencer a los demas de que tu teoria es valida, tendrias que demostrar todo lo que digas, y muy formalmente.

Aprender a demostrar no es facil, pero es lo que diferencia a los hombres de los niños.

Plastilina y Bolitas: A implica B

Para hacer una buena demostracion es necesario entender algunos conceptos basicos, asi que empecemos por el mas basico;

Esto significa que una Verdad implica otra, o si podemos decirlo en palabras menos tecnicas, una oracion significa implicitamente otra, asi por ejemplo, en lenguaje llano podemos tener:

En la clase, se me acabo la tinta de la pluma.

Esta frase puede implicar muchas cosas:

Tendre que sacar otra pluma

o

Tendre que escribir con lapiz

o

Grabare la clase con mi camara digital

Cada una de ellas es una consecuencia logica de la primera afrimacion.

Ejemplos:

Se me fue el vuelo, implica que llegare tarde.

El Sheik llego de madrugada a su casa, borracho y con lapiz labial en la camisa,  implica  que dormira en la perrera

Si una funcion es derivable  implica  que es continua.

Definicion Formal

En la construccion logica:

A es llamado el antecedente o hipotesis y B es el consecuente

Se escribe de dos formas diferentes:

A implica B

o

Si esto sucede, entonces aquello sucede.

La direccion de la flechita indica cual es el antecedente, (el lugar donde no hay flechita) y donde esta el consecuente, (el lugar donde apunta la flechita). El Si es un si condicional, establece cual es la condicion que se debe de cumplir para que todo suceda.

Resumen:

Bienvenidos a Mi Blog

Una de las mas divertidas y arduas labores en la Matematica es el Arte de la Demostracion Matematica, poder convencer a los demas miembros de la comunidad cientifica que nuestras ideas son correctas y estan logicamente estructuradas es la labor de todo cientifico que se respete.

Hay poco material al respecto y de hecho es algo que regularmente tenemos que aprender sobre la marcha, no es raro que un alumno de la Facultad de Ciencias se pregunte, ¿para que sirve demostrar?, ¿porque tengo que encontrar la Epsilon?, y no pocas veces caiga en la desesperacion de no poder hacerlo.

En este Blog pienso hablar sobre el tema de las demostraciones, tecnicas, ejemplos, logica y muchas cosas mas, pero no estara estructurado como un curso, sino mas bien como vaya saliendo de mi cabeza y segun vaya teniendo tiempo, espero que lo encuentren util.

Sergio Tellez Morales