martes, 15 de septiembre de 2015

Problem Solving with George Polya


Solucionar un problema matematico, NO ES DEMOSTRAR, son dos caminos totalmente diferentes de tratar con las Matematicas, y un buen Fisico debe de conocer los dos, asi como somos capaces de encontrarle un numero a un angulo de un Prisma, tambien debemos de poder Demostarar la validez de las Leyes de la Optica.

sábado, 9 de noviembre de 2013

Temario del curso

Este fue le temario del curso que se dio en la Facultad de Ciencias de la UNAM, en cuanto tenga tiempo lo hare un curso en linea.

I, Porque demostrar
II. Conceptos basicos
  • Gramatica y simbologia, (alfabeto griego, conectores logicos, simbolos matematicos)
  • Como leer un postulado matematico
  • Diseccion de un Teorema (como leerlo, que es un Teorema, un Axioma y un Corolario)
III. Logica
  • Tablas de verdad
  • Implicaciones logicas, implica, si y solo si.
III Tecnicas
  • Heuristica
  • Metodo por Construccion
  • Metodo por Seleccion
  • Induccion
  • Particularizacion
  • Contradiccion (reduccion al absurdo)
  • Metodo Contrapositivo
  • Tecnicas especiales (unicidad, exclusividad, maximos y minimos)
IV Trucos Sucios
  • Los mejores trucos
  • Progresivo Regresivo
  • Operaciones especiales (multiplicar por uno, sumar por cero, separaciones)
V Demostraciones clasicas

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

miércoles, 9 de octubre de 2013

Metodos Demostrativos

Los principales metodos demostrativos son:


  1. Metodo Constructivo  
  2. Metodo Progresivo-Regresivo 
  3. Particularizacion  
  4. Seleccion  
  5. Induccion  
  6. Vacuidad    

  7. Transitividad    
  8. Reduccion al absurdo    
  9. Contrapositivo
En este momento solo tengo tiempo de presentarles formalmente cuales son los principales metodos, poco a poco los ire desarrollando.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

martes, 13 de agosto de 2013

Que es un Teorema o el Sheik corteja a su amada

Un Teorema es una verdad matematica que debe de ser demostrada para ser valida, a la cual se ha llegado por medio de varios axiomas y teoremas previos, los cuales se pueden usar para demostrar su validez.

Esto es primero se establecen una serie de Axiomas y procedemos a combinarlos, para obtener conceptos matematicos mas elaborados, y coherentes, que nos lleven a una afirmacion matematica mucho mas compleja.

Por ejemplo, si tomamos los siguientes Axiomas:
  • 1 Las mujeres son bonitas
  • 2 Los hombres y las mujeres son diferentes
  • 3 A las mujeres les gustan las flores
  • 4 A las mujeres les gustan los hombres seguros
  • 5 A los hombres les gustan las mujeres
  • 6 Existe el noviazgo
  • 7 Existe la felicidad.
  • 8 A las mujeres les gustan los chocolates
  • 9 A las mujeres les agradan los hombres inteligentes.
  • 10 A las mujeres les gustan las poesias
  • 11 Las parejas disfrutan de pasar tiempo juntos
Entonces podremos hacerle un Teorema a nuestro amigo el Sheik:

Si el Sheik corteja a una mujer, esta sera su novia y el sera feliz

Esto podemos plantearlo como un Teorema de la forma:


En donde el antecedente A es que el Sheik cortejara a una mujer y el primer consecuente B es que ella sera su novia y el segundo consecuente C es que esto lo hara Feliz.

Siempre que veamos la palabra Teorema, este vendra acompañado de la palabra Demostracion, que es la argumentacion matematica necesaria para comprobar que el Teorema sea Verdadero.

Asi que:

Demostracion:

El Sheik cortejara a una mujer.

Usualmente primero vemos que significan los terminos basicos, El Sheik ya lo conocemos, es el personaje que nos guiara en el curso, el concepto de mujer tambien podemos definirlo con precision, asi que solo falta entender la palabra Cortejar.

Bien tomemos nuestra lista de Axiomas, el 5 nos dice que al Sheik le gustan las mujeres, mientras que el 3, 4 y 8 nos dicen que le gusta a las mujeres, asi que usemoslos.

Sea el Sheik, que le gustan las mujeres.


Un dia llegara con la elegida de su corazon, con la actitud de Rodolfo Valentino en la pelicula llamada como el (Axioma 4), incluyendo la ceja levantada y la actitud de aqui solo mis chicharrones truenan, con un gran ramo de flores (axioma 3), y una caja de chocolates (axioma 8), y se pone a platicar con ella del tema favorito de su amada, y en la charla intercalara alguna poesia de Walt Whitman y de Lord Byron (Axiomas 7, 9 y 10).  (Esto es lo que significa cortejar)


Se repite la accion anterior (demostracion por induccion), hasta que la susodicha queda prendada del Sheik.


El Sheik podra pedirle que sea su novia


Queda demostrado 


Ahora usando esto como precedente o hipotesis, procedemos a demostrar que esto  lo hara feliz.

Usando el axioma 6, ya que el Sheik y su amada son novios



Por el axioma 11 disfrutan pasar tiempo juntos



Son felices, ya que la felicidad es disfrutar de la vida juntos.

QED.

Y asi acaban de ver su primera demostracion, no es exacta, ni pretendo que lo sea, solo es una forma heuristica de que vean como se hace una argumentacion en base a axiomas.

Como se daran cuenta, no he usado los axiomas 1 y 3, porque no fueron necesarios, la discriminacion de que axiomas usaremos y cuales no, depende de cuales nos resulten utiles en nuestra demostracion, el orden en el que aparecen los axiomas a usar depende de nuestro proceso racional, es por ello que no siempre dos demostraciones pueden ser iguales, y apareceran cuando nos vengan a mano, nos convengan o sean utiles.

Y como ultimo comentario, el porque uso un axioma y en que momento lo uso es la escencia del razonamiento matematico, el cual solo se adquiere por medio de la practica, en este sentido las demostraciones son mas parecidas a la pintura o a las sinfonias, nuestra primera pintura sera tecnicamente imperfecta, la segunda mejorara un poco, la tercera aun mas, para cuando hayamos hecho cincuenta, ya podremos hacerlas con maestria, elegir que colores queremos y como, asi que les recomiendo que agarren un buen libro como el Stein o el Pishkunov y se pongan a ver demostraciones, no que estan demostrando, sino como lo estan haciendo, y si son de primer semestre, tomen el primer capitulo de cuanto libro basico encuentren y hagan lo mismo, nadie nace siendo Van Gogh, lo importante es que adquieran un minimo de madurez matematica, tan rapido como puedan.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

miércoles, 3 de julio de 2013

Axioma

Un axioma se define como una verdad tan evidente, que no es necesario demostrarla, en cierto sentido son los ladrillos basicos sobre los que construimos toda la teoria, en particular los axiomas son simples, claros y evidentes, o bien se elaboran como un acuerdo entre los diferentes miembros de la comunidad.

Esto es, primero se establecen una serie de definiciones basicas, comunes a todos, con una nomenclatura comun, de tal forma que todos los miembros de la comunidad matematica puedan comunicarse entre si, comprender lo que estan haciendo y basar sus construcciones teoricas en conocimiento comun.

En cierto sentido, utilizar los axiomas mas utiles a lo largo de una demostracion es un arte, y esta relacionado a poder comprender muy bien lo que estamos haciendo para saber en que momento nos es util algun axioma, como cuando se esta ensamblando un modelo para armar y decides que es momento de agregar o pintar alguna pieza.

Uno de los errores mas comunes en el aprendizaje de la Teoria de Demostraciones es que se puede cometer el error de intentar demostrar un axioma, por ejemplo ax0=0, como no hay argumentos mas basicos para hacerlo, suele caerse en una Cantinfleada, para intentar demostrarlo.

Un Axioma no siempre es una Definicion, de esta hablare mas tarde.

Autor: Sergio Tellez