domingo, 8 de julio de 2018

Demostraciones y Conjuntos

La Teoria de Conjuntos es un concepto realmente reciente, que se ha intentado expander a otros campos y no siempre ha servido y en algunos de plano se ve incrustada a la fuerza, pero en la Teoria de las Demsotraciones ha quedado como guante.

Usualmente una Demostracion es un proceso lógico, en la que presentamos Argumentaciones para obtener un Resultado que respete la Lógica. debe de ser clara y convincente y su objetivo es verificar una Aseveracion..

Pero es un Arte, que si bien tiene Tecnicas, requiere que se manejen con soltura, todo pintor debe aprender a usar el pincel, pero no todos llegaran a tener la habilidad de Miguel Angel.

Solow en su libro de Demostraciones ha sistematizado la Teoria en base a los Conjuntos, desde una perspectiva muy util, despues de todo si queremos demostrar que:

Casi siempre pasamos por alto, lo mas obvio, tanto A como B pueden ser conjuntos o elementos de ellos, asi que las relaciones logicas se establecen entre los elementos de dos conjuntos, y Solow establecio una relacion entre la Tecnica demostrativa a usar y las propiedades del Conjunto a demostrar, asi por ejemplo establece que usemos el Metodo por Particularizacion si:




Y sucesivamente va asociando las Tecnicas demostrativas, con las cualidades que requerimos del conjunto que nos conviene. Claro que no todas las demostraciones pueden realizarse asi, por ejemplo las Geometricas; pero su trabajo ayuda bastante, en una entrada anterior ya describi las Tecnicas demostrativas en base al cuantificador.

Por otro lado, la Teoria de Conjuntos debe de manejarse a un nivel avanzado para poder comprender estas sutilezas, como por ejemplo, identificar si es un Para Todo  o un Existe , o mas interesante, ¿qué hacer si el Existe esta en el antecedente?


Autor Sergio Tellez

domingo, 27 de mayo de 2018

¿Que es una Demostracion? Versión Pragmatca


Def.
Es la forma lógica de desarrollar un Proceso Lógico, en el cual una Hipótesis Matemática es transformada en un Consecuente, para Verificar un concepto Matemático, para hacerlo se usan Argumentos, hay varias Técnicas para hacerlo, las cuales son:
  • Método Progresivo-Regresivo
  • Método por Consrucción
  • Método por Selección
  • Inducción
  • Partícularización
  • Método por Contradicción
  • Método Contrapositivo
  • Con Regla y Compás, (clásico griego)
  • Geométrico
  • Método Numérico.
 Se que esta definicion mas parece que te preguntan que es el mar y respondes explicando como remar, pero cuando tu buque se esta hundiendo. esta es la definicion mas necesaria; de la misma forma, como estudiante de primeros semestres de Fisica o Actuaria, esta es la mejor Definicion, poque es operativa, ya despues hablaremos de otras mas formales, tanto en Matematicas como en Filosofia, asi como su impotancia dentro de la Creacion de la Ciencia Moderna, en lo que no desperdiciare tiempo es en el enfoque de Lakatos o Feyerabend, que pese a su popularidad en Filosofia, son absolutamente inutiles en Ciencias.

martes, 20 de febrero de 2018

Los disfraces del Uno

No es raro que cuando estemos demostrando, tengamos que convertir una cosa, en otra, como un polinomio en un monomio, o una expresion exponencial en algo mas simple, para transformar lo que nos estorba en un desarrollo hay una herramienta utilisima, multiplicar todo por uno.

Como sabemos bien:

A x 1 = A

La Identidad Multiplicativa, una de esas coas que vemos siempre en las propiedades y que raramente nos llaman la atencion, pues bien en este momento es cuando nos sera muy util, esto significa que cualquier cosa multiplicada por uno, sigue siendo la misma cosa, aunque claro, depende de como expresemos ese uno.

Porque un uno puede ser algo asi como:

1

Sen X / Sen X

sen² x + cos ² x

eˣ Senh (dV/dt) + ln (Σxᶰ )ˣ / eˣ Senh (dV/dt) + ln (Σxᶰ )ˣ

Monstruo / Monstruo

La habilidad radica en encontrar una que nos sirva para simplificar nuestro desarrollo, que convierta todo en algo mas manejable.

viernes, 15 de diciembre de 2017

Demostrar no es Resolver

Hay un error muy comun en el mundo de las Matematicas, se confunde Demostrar con Resolver.

Resolver

Este metodo pertenece al mundo de las Matematicas Aplicadas, y usualmente sigue las reglas de Polya para su Solucion, por cualquier metodo numerico o procedimiento se intenta obtener un resultado, sigamos, si nos encontramos algo asi como Encuentra el Resultado de... o Encuentra la Solucion de... o vemos algo asi como:

f(x) dx, con X ∈ ℝⁿ

Casi siempre se busca una solucion numerica a un Problema, y para eso no hay nada mejor que el Metodo de Polya.

Demostrar

En cambio la demostracion pertenece al mundo de la Logica Matematica, aqui usualmente no hay que encontrar un valor numerico (a excepcion de Teoria de Continuidad, ver mas abajo), sino presentar un argumento logico, que demuestre la Verdad de un argumento logico. Usualmente se dice: Demuestre que, y casi siempre se inicia con un Sea...

Pongamos un ejemplo:

Demuestre que un flujo uniforme y continuo es Lagrangiano.

A esto seguira una serie de argumentaciones logicas, cuyo objetivo es usar las definiciones basicas de flujo, uniforme y continuo, para llevarlo por una serie de pasos logicos a que es Lagrangiano, buscamos validar un concepto, no un numero, usamos argumentos demostrativos, no metodos numericos.

Una excepcion notable son las demostarciones de Continuidad, ya que como parte de su metodologia, tenemos que encontrar una Epsilon (cuyo valor siempre es numerico), que nos permite demostrar que podemos crear una Vecindad de radio Epsilon, alrededor de cada punto, en el cual se cumpliran las condiciones de continuidad, esta es una rara mezcla de ambos conceptos, y como el hay varios, pero casi todos pertencen al mundo de la Matematica Teorica Avanzada, cosa que solo se ve en las buenas Facultades de Ciencias, asi que muy pocos lo ven.

miércoles, 15 de noviembre de 2017

Cantinfleadas

Una demostracion que no demuestra nada y que solo repite argumentos logicos, sin ningun orden, es lo que yo llamo una cantinfleada, las mas comunes son los intentos por demostrar cosas que no es posible demostrar, como por ejemplo los Axiomas, asi cuando uno dice:

El Agua Moja

Usualmente no hay que hacer una gran elucubracion teorica en Mecanica de Fluidos, solo basta meter la mano en la pileta (o ver un calendario de porristas lavando un auto, eso se deja al gusto del demostrador), y queda resuelta la cuestion.

Sin embargo hay matematicos gazmoños que les gusta demasiado rizar el rizo y desean demostrar cosas que son tan obvias como:

A×0=0

Y cuando intentas demostrar un axioma, solo haces una cantinfleada.

lunes, 27 de junio de 2016

San Agustin

Las Demostraciones son argumentaciones logicas, cuyo objetivo final es probar una Hipotesis que se ha planteado; existen desde la antigüedad, cuando los Filosofos y Matematicos griegos daban certidumbre a sus planteamientos, algunas de las mas bellas formas de Demostracion antigua se preservaron en forma de Demostraciones Geometricas, ya poseian esa elegancia, esa certidumbre, esa estructura logica.

Los Filosofos conservaron la argumentacion como una forma de probar sus principios, en la antigüedad, particularmetne en la Tradicion Epistemologica Platonica, es interesante ver el uso de la principal herramienta de la Razon por todo tipo de Filosofos.

Entre los mas peculiares esta uno de los padres de la Iglesia, San Agustin, un romano de finales del Imperio Occidental, que planteo los fundamentos de las creencias cristianas occidentales, y pese a que sus conclusiones son Teologicas, sus metodos son demostrativos, su argumentacion es elegante, quizas no tan elevada como la de Santo Tomas, pero sus Argumentos Deductivos son un ejemplo de Logica formal, que todo cientifico apreciaria en la actualidad,

Veamos un ejemplo, basado en De la vida beata (De la vida Feliz), en donde quiere demostrar que los Filosofos Acdemicos no son sabios, usa este argumento::

Si es evidente que no es dichoso el que no posee cuanto quiere. (Hipotesis)

Nadie busca lo que no quiere encontrar; pero ellos buscan constantemente la verdad

Vean el gambito logico que acaba de hacer, una argumentacion basandose en la definicion de Filosofo Academico de esa epoca.


Los Academicos quieren encontrar la Verdad

Pero no la encuentran ( y hasta la fecha no lo han logrado)


No poseen lo que apetecen


No son dichosos

Nadie es sabio si no es dichoso

El Academico no es sabio

QED.

Y asi tenemos un ejemplo que nos permite entender con palabras normales, el proceso de argumentar.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)