La Demostracion Geometrica clasica hace uso de dos herramientas, la Regla y el Compas, el razonamiento es logico estructurado, mas cercano a la Filosofia, que a la moderna Matematica, porque es mucho mas puro.
Pongamos un ejemplo:
Demostrar que el punto medio de la hipotenusa de un Triangulo rectangulo es equidistante de sus tres vertices.
Aqui hay que tomar en consideracion varios Axiomas:
Esta se hara por construccion geometrica:
1. Construimos el triangulo rectangulo:
Lo hacemos dentro de una circunferencia que nos convenga, el punto medio de la hipotenusa nos conviene colocarlo al centro, ya que de esta forma, tenemos dos radios iguales:
Ahora desde el centro levantamos una perpendicular a la diagonal, para encontrar el otro vertice del triangulo
Como se ve, hemos creado dos triangulos rectangulos ΔAOB y ΔBOC, cuyos catetos son congruentes y todos valen r, tienen los mismos angulos rectos, y por ser isosceles, sus ángulos son todos α.
Hasta el momento solo hemos construido juiciosamente nuestra figura, ahora procedamos con la demostracion
2. Demostremos que es rectangulo:
Esto es:
Asi que
Como el angulo del vertice C es de 2α y
Paso 3 Demostrar equidistancia
Como el Punto Medio es el Centro de la Circunferencia y los tres vertices del triangulo esta a un radio de distancia de el
Pongamos un ejemplo:
Demostrar que el punto medio de la hipotenusa de un Triangulo rectangulo es equidistante de sus tres vertices.
Aqui hay que tomar en consideracion varios Axiomas:
- En un circulo, sus radios son del mismo tamaño, esto nos sirve para cuando oimos la palabra equidistante, sabemos que hay una circunferencia asociada.
- Las distancias se trtazan sobre radios o la diagonal.
- Los asociados a los triangulos en general.
Esta se hara por construccion geometrica:
1. Construimos el triangulo rectangulo:
Lo hacemos dentro de una circunferencia que nos convenga, el punto medio de la hipotenusa nos conviene colocarlo al centro, ya que de esta forma, tenemos dos radios iguales:
Ahora desde el centro levantamos una perpendicular a la diagonal, para encontrar el otro vertice del triangulo
Como se ve, hemos creado dos triangulos rectangulos ΔAOB y ΔBOC, cuyos catetos son congruentes y todos valen r, tienen los mismos angulos rectos, y por ser isosceles, sus ángulos son todos α.
Hasta el momento solo hemos construido juiciosamente nuestra figura, ahora procedamos con la demostracion
2. Demostremos que es rectangulo:
El ΔAOB es rectángulo e isosceles
⇒
La suma de sus angulos debe de dar 180°
Esto es:
α + α + 90° = 180°
2α + 90° = 180°
Asi que
α = 45°
Como el angulo del vertice C es de 2α y
2α = 90°
⇒
ΔACB es rectangulo
Paso 3 Demostrar equidistancia
Como el Punto Medio es el Centro de la Circunferencia y los tres vertices del triangulo esta a un radio de distancia de el
⇒
Son equidistantes
⊡QED
Sergio Téllez
