Regresaremos pronto

Temario del curso

Este fue le temario del curso que se dio en la Facultad de Ciencias de la UNAM, en cuanto tenga tiempo lo hare un curso en linea.

I, Porque demostrar

II. Conceptos basicos

• Gramatica y simbologia, (alfabeto griego, conectores logicos, simbolos matematicos)
• Como leer un postulado matematico
• Diseccion de un Teorema (como leerlo, que es un Teorema, un Axioma y un Corolario)

III. Logica

• Tablas de verdad
• Implicaciones logicas, implica, si y solo si.

III Tecnicas

• Heuristica
• Metodo por Construccion
• Metodo por Seleccion
• Induccion
• Particularizacion
• Contradiccion (reduccion al absurdo)
• Metodo Contrapositivo
• Tecnicas especiales (unicidad, exclusividad, maximos y minimos)

IV Trucos Sucios

• Los mejores trucos
• Progresivo Regresivo
• Operaciones especiales (multiplicar por uno, sumar por cero, separaciones)

V Demostraciones clasicas

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

Metodos Demostrativos

Los principales metodos demostrativos son:

1. Metodo Constructivo  
   
2. Metodo Progresivo-Regresivo 
   
3. Particularizacion  
   
4. Seleccion  
   
5. Induccion  
   
6. Vacuidad    
   
   
   
7. Transitividad    
   
8. Reduccion al absurdo    
   
9. Contrapositivo 
   
   
   

En este momento solo tengo tiempo de presentarles formalmente cuales son los principales metodos, poco a poco los ire desarrollando.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

Que es un Teorema o el Sheik corteja a su amada

Un Teorema es una verdad matematica que debe de ser demostrada para ser valida, a la cual se ha llegado por medio de varios axiomas y teoremas previos, los cuales se pueden usar para demostrar su validez.

Esto es primero se establecen una serie de Axiomas y procedemos a combinarlos, para obtener conceptos matematicos mas elaborados, y coherentes, que nos lleven a una afirmacion matematica mucho mas compleja.

Por ejemplo, si tomamos los siguientes Axiomas:

• 1 Las mujeres son bonitas
• 2 Los hombres y las mujeres son diferentes
• 3 A las mujeres les gustan las flores
• 4 A las mujeres les gustan los hombres seguros
• 5 A los hombres les gustan las mujeres
• 6 Existe el noviazgo
• 7 Existe la felicidad.
• 8 A las mujeres les gustan los chocolates
• 9 A las mujeres les agradan los hombres inteligentes.
• 10 A las mujeres les gustan las poesias
• 11 Las parejas disfrutan de pasar tiempo juntos

Entonces podremos hacerle un Teorema a nuestro amigo el Sheik:

Si el Sheik corteja a una mujer, esta sera su novia y el sera feliz

Esto podemos plantearlo como un Teorema de la forma:

En donde el antecedente A es que el Sheik cortejara a una mujer y el primer consecuente B es que ella sera su novia y el segundo consecuente C es que esto lo hara Feliz.

Siempre que veamos la palabra Teorema, este vendra acompañado de la palabra Demostracion, que es la argumentacion matematica necesaria para comprobar que el Teorema sea Verdadero.

Asi que:

Demostracion:

El Sheik cortejara a una mujer.

Usualmente primero vemos que significan los terminos basicos, El Sheik ya lo conocemos, es el personaje que nos guiara en el curso, el concepto de mujer tambien podemos definirlo con precision, asi que solo falta entender la palabra Cortejar.

Bien tomemos nuestra lista de Axiomas, el 5 nos dice que al Sheik le gustan las mujeres, mientras que el 3, 4 y 8 nos dicen que le gusta a las mujeres, asi que usemoslos.

Sea el Sheik, que le gustan las mujeres.

Un dia llegara con la elegida de su corazon, con la actitud de Rodolfo Valentino en la pelicula llamada como el (Axioma 4), incluyendo la ceja levantada y la actitud de aqui solo mis chicharrones truenan, con un gran ramo de flores (axioma 3), y una caja de chocolates (axioma 8), y se pone a platicar con ella del tema favorito de su amada, y en la charla intercalara alguna poesia de Walt Whitman y de Lord Byron (Axiomas 7, 9 y 10).  (Esto es lo que significa cortejar)

Se repite la accion anterior (demostracion por induccion), hasta que la susodicha queda prendada del Sheik.

El Sheik podra pedirle que sea su novia

Queda demostrado 

Ahora usando esto como precedente o hipotesis, procedemos a demostrar que esto  lo hara feliz.

Usando el axioma 6, ya que el Sheik y su amada son novios

Por el axioma 11 disfrutan pasar tiempo juntos

Son felices, ya que la felicidad es disfrutar de la vida juntos.

QED.

Y asi acaban de ver su primera demostracion, no es exacta, ni pretendo que lo sea, solo es una forma heuristica de que vean como se hace una argumentacion en base a axiomas.

Como se daran cuenta, no he usado los axiomas 1 y 3, porque no fueron necesarios, la discriminacion de que axiomas usaremos y cuales no, depende de cuales nos resulten utiles en nuestra demostracion, el orden en el que aparecen los axiomas a usar depende de nuestro proceso racional, es por ello que no siempre dos demostraciones pueden ser iguales, y apareceran cuando nos vengan a mano, nos convengan o sean utiles.

Y como ultimo comentario, el porque uso un axioma y en que momento lo uso es la escencia del razonamiento matematico, el cual solo se adquiere por medio de la practica, en este sentido las demostraciones son mas parecidas a la pintura o a las sinfonias, nuestra primera pintura sera tecnicamente imperfecta, la segunda mejorara un poco, la tercera aun mas, para cuando hayamos hecho cincuenta, ya podremos hacerlas con maestria, elegir que colores queremos y como, asi que les recomiendo que agarren un buen libro como el Stein o el Pishkunov y se pongan a ver demostraciones, no que estan demostrando, sino como lo estan haciendo, y si son de primer semestre, tomen el primer capitulo de cuanto libro basico encuentren y hagan lo mismo, nadie nace siendo Van Gogh, lo importante es que adquieran un minimo de madurez matematica, tan rapido como puedan.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

Axioma

Un axioma se define como una verdad tan evidente, que no es necesario demostrarla, en cierto sentido son los ladrillos basicos sobre los que construimos toda la teoria, en particular los axiomas son simples, claros y evidentes, o bien se elaboran como un acuerdo entre los diferentes miembros de la comunidad.

Esto es, primero se establecen una serie de definiciones basicas, comunes a todos, con una nomenclatura comun, de tal forma que todos los miembros de la comunidad matematica puedan comunicarse entre si, comprender lo que estan haciendo y basar sus construcciones teoricas en conocimiento comun.

En cierto sentido, utilizar los axiomas mas utiles a lo largo de una demostracion es un arte, y esta relacionado a poder comprender muy bien lo que estamos haciendo para saber en que momento nos es util algun axioma, como cuando se esta ensamblando un modelo para armar y decides que es momento de agregar o pintar alguna pieza.

Uno de los errores mas comunes en el aprendizaje de la Teoria de Demostraciones es que se puede cometer el error de intentar demostrar un axioma, por ejemplo ax0=0, como no hay argumentos mas basicos para hacerlo, suele caerse en una Cantinfleada, para intentar demostrarlo.

Un Axioma no siempre es una Definicion, de esta hablare mas tarde.

Autor: Sergio Tellez

Exactitud

Hoy hablaremos de un tema en particular:

SATAN

Este personaje tiene estas cualidades:

• Siempre viste de rojo
• Te tentara con regalos
• Pervertira tu inocencia, alejandote de la bondad y volviendote un adicto al dinero
• Te convertira en esclavo del consumismo
• Desea ser adorado mas que Dios y Jesucristo, particularmente el dia del nacimiento del ultimo
• Viaja en trineo con renos

¡Ah caray!, me equivoque, queria decir

SANTA

Si bien ambas palabras tienen las mismas letras, el acomodo de ellas es diferente, solo un pequeño error que cambia totalmente el significado de las cosas. La exactitud es una caracteristica de la Ciencia, y debemos de aprender a ser  tan exactos como sea posible, y si bien en Fisica no podemos serlo, porque siempre tendremos una incertidumbre al medir la naturaleza, en la Matematica si podemos hacerlo, porque asi se ha construido, es por ello que los Matematicos son tan quisquillosos en cuestion de precision y desarrollo logico.

Y es que en Matematicas siempre habra exactitud, uno mas uno siempre dara dos, y no importa cuantas particiones hagamos, siempre habra una Epsilon que nos defina la vecindad alrededor de un punto, sea este de continuidad, de acumulacion, limite de convergencia o una particion.

La Matematica es una ciencia exacta, por la sencilla razon de que la hemos construido asi, es un producto de la mente humana, quiza el mas complejo y mas abstracto, pero tambien el mas poderoso y el mas util, su buen manejo es obligatorio para un buen cientifico.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

La Continuidad en la vida diaria

Casi siempre nos preguntamos el porque tenemos que estudiar tan a profundidad el tema de Continuidad, parece tan complejo, tan formal y a la vez tan alejado de la realidad que no pocos maestros y estudiantes lo consideran solo un mal necesario.

Pero no lo es, en realidad el buen aprendizaje de un tema tan arido y dificil es muy necesario, primero, porque es en esas profundidades formales donde se prueban nuestras habilidades y son conocimientos que siempre seguiremos usando, las acotaciones, las distancias y toda la parafernalia asociada nos dan madurez matematica, la cual solo se adquiere por este camino.

Pero mucho mas importante, nuestro mundo funciona asi, la continuidad esta por todas partes, nuestro reloj avanza sin brincarse un solo segundo, no hay huecos en el espacio temporal, nuestra vida tiene que recorrer cada uno de ellos, y lo mas curioso, parece ser que el tiempo no solo es continuo, sino que recorre el eje en una sola direccion, solo avanza, pero nadie ha visto un segundo negativo.

Nuestra percepcion de la realidad inmediata tambien es continua, el cielo, el mar, los fenomenos mecanicos, termicos o electricos son continuos, una fuerza no deja de aplicarse cuando le de la gana, ¿se imaginan que la Gravedad fuese discontinua?, todos saldriamos volando por el espacio justo en ese momento, o bien si los fluidos fuesen discontinuos, encontrariamos huecos vacios en el mar, o burbujas de Nada en el aire, cuidado de caer en una, porque nos asfixiariamos inmediatamente. Lo mismo puede decirse de los campos magneticos, electricos o gravitacionales.

La continuidad es una hipotesis fundamental, no solo en el Calculo, sino en la Fisica Clasica, es parte de la definicion basica de sistema homogeneo y lineal, seria imposible derivar e integrar sin este concepto, y simplemente seguiriamos viviendo con la tecnologia del siglo XVII si nunca se hubiese definido ese concepto; de hecho, la sola idea de que la energia es discontinua fue el motor que provoco todo el desarrollo de la Fisica Moderna.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

Para todo, la grandeza del absoluto

La gran fuerza de la matematica es que establece leyes que se pueden aplicar en todo el Universo conocido, un Teorema es valido, aqui, en China o en la proxima Galaxia, eso es lo que le da tanta fuerza como herramienta para conocer y entender nuestra realidad.

 Cuando uno afirma que una condicion se cumple siempre, se usa el simbolo Para Todo:

La forma de usar esta definicion se define un conjunto, se dice que todo elemento del conjunto cumple cierta condicion

Recuerdese bien, TODOS los elementos del conjunto E, deben de cumplir la condicion, no debe de faltar ninguno.

Se cumple tal o cual, es una definicion de propiedad sobre todos los elementos del conjunto. Usualmente se usa para definir conceptos, donde YO defino cuales cumplen la condicion que deseo.

Contrario a Existe

Heuristica:

Si el Sheik va a un Table y muestra una billetera repleta de dinero, TODAS las mujeres del lugar tenderan a estar cerca de el. O bien un ejemplo menos mundano, si dejo caer cualquier gis desde mi mano, en cualquier parte del planeta tierra, este caera al piso.

Ejemplo.

En la definicion de Continuidad tenemos que:

Aqui el termino:

Significa que para cualquier distancia que yo imagine,  epsilon, tan pequeña como yo desee, (casi cero, pero jamas cero, porque es una distancia), encontrare una delta que cumplka las condiciones que siguen.

Autor: Sergio Tellez Morales

Truco sucio, Sumando Cero

Otro de los trucos sucios mas utiles es el de sumar Cero, pero un cero muy especial, que nos permita transformar lo que estamos haciendo en algo mas manejable.

El truco usual es reacomodar lo que estamos demostrando de tal forma que en alguna parte del proceso podamos acomodar las cosas, de tal forma que tomemos del cero lo que necesitamos y dejemos lo que no queremos, asi solo nos quede el consecuente.

Autor: Sergio Tellez Morales