Demostracion Geometrica Clasica

La Demostracion Geometrica clasica hace uso de dos herramientas, la Regla y el Compas, el razonamiento es logico estructurado, mas cercano a la Filosofia, que a la moderna Matematica, porque es mucho mas puro.

Pongamos un ejemplo:

Demostrar que el punto medio de la hipotenusa de un Triangulo rectangulo es equidistante de sus tres vertices.

Aqui hay que tomar en consideracion varios Axiomas:

1. En un circulo, sus radios son del mismo tamaño, esto nos sirve para cuando oimos la palabra equidistante, sabemos que hay una circunferencia asociada.
2. Las distancias se trtazan sobre radios o la diagonal.
3. Los asociados a los triangulos en general.

Demostración

Esta se hara por construccion geometrica:

1. Construimos el triangulo rectangulo:

Lo hacemos dentro de una circunferencia que nos convenga, el punto medio de la hipotenusa nos conviene colocarlo al centro, ya que de esta forma, tenemos dos radios iguales:

Ahora desde el centro levantamos una perpendicular a la diagonal, para encontrar el otro vertice del triangulo

Como se ve, hemos creado dos triangulos rectangulos ΔAOB y ΔBOC, cuyos catetos son congruentes y todos valen r, tienen los mismos angulos rectos, y por ser isosceles, sus ángulos son todos α.

Hasta el momento solo hemos construido juiciosamente nuestra figura, ahora procedamos con la demostracion

2. Demostremos que es rectangulo:

El ΔAOB es rectángulo e isosceles

⇒

La suma de sus angulos debe de dar 180°

Esto es:

α + α + 90° = 180°

2α + 90° = 180°

Asi que

α = 45°

Como el angulo del vertice C es de 2α y

2α = 90°

⇒

ΔACB es rectangulo

Paso 3 Demostrar equidistancia

Como el Punto Medio es el Centro de la Circunferencia y los tres vertices del triangulo esta a un radio de distancia de el

⇒

Son equidistantes

⊡QED

Sergio Téllez