Metodos Demostrativos: Contrapositivo

El metodo contrapositivo es muy util cuando tenemos que hacer una demostracion del tipo:

A  ⟹ B

"Si esto sucede, ⟹ esto otro sucede,"

Porque hay ocasiones en que es mas facil demostrar que no es cierto algo, que una propiedad no se cumple, que hay una cualidad que no se tiene, etc.

En parametros logicos, este metodo contrapositivo es:

Ejemplos:

1. Un ejemplo en lenguaje comun seria:

Si la estufa esta caliente  ⟹ La comida se calentara

Y el contrapositivo seria:

Si la comida esta fria, ⟹ la estufa esta apagada

2. Si tu novia te hace feliz, ⟹ Te ama

El Contrapositivo sería:

Si no te ama tu novia ⟹ No te quiere hacer feliz

3. Y como siempre, es fundamental un ejemplo matematico:

Demuestre que f(x) es continua sii no tiene hoyos

A: f(x) es continua, ⟹ B: f(x) no tiene hoyos

Asi que hay que negar todo y darle la vuelta:

NO B: f(x) tiene hoyos ⟹ NO A: f(x) no es continua

Y la demostracion seria por construccion, basandose en esta nueva hipotesis.

Lakatos vs Kuhn a tres caidas sin limite de tiempo.

Es mas facil que un Cientifico entienda Filosofia a que un Filosofo entienda Ciencia, porque nosotros construimos todo con Logica, es una herramienta basica, el mejor ejemplo, son las Demostraciones, tienen incrustadas en ellas ideas muy profundas, pero las manejamos tan regularmente que hasta nos olvidamos que estan ahi.

Una buena demostracion debe de convencernos de que un Concepto, una Teoria o incluso una nueva Idea, tienen sentido, el andamiaje basico de cualquier Teoria se basa en que sea Consistente entre todas sus partes, que de unos principios basicos podamos derivar Matematicamente los demas, o bien que si creamos una nueva idea, este bien construida; pongamos un ejemplo, la Relatividad Especial, para que podamos respetar que No se puede Viajar a mas de C, Einstein tuvo que hacer circo, maroma y teatro para que sus ecuaciones de movimeinto fueran consistentes.

El principal Filosofo de la Ciencia en la actualidad es Kuhn, sobre el basamos nuestro trabajo, pero sin embargo es muy complejo, tanto, que es incomprensible para la mayoria de los Filosofos, los cuales han optado por Lakatos, que goza de gran popularidad en ese campo, pese a que sus ideas fueron rechazadas por la Comunidad Cientifica desde hace lustros, pero tiene la ventaja de ser facilmente entendible, lo que lo ha hecho muy popular.

Leer a Lakatos es divertidisimo, te ries en practicamente cada pagina, porque es obvio que nunca entendio lo que hacemos en Matematicas, presenta las mismas objeciones al Metodo Demostrativo que los estudiantes de Primer Semestre; tanto asi, que alguna vez, un alumno me hizo una pregunta que podria resumir el Falsacionismo en ella, ¿que tal si la demostracion no da el resultado que esperamos?, bueno, eso regularmente es la consecuencia de hacerla mal, las Demostraciones son un Arte, hay elevados Boticellis y horribles Cuevas, hay algunas faciles y otras dificiles, pero yo tengo la seguridad de que si bien hay cosas que no se han podido demostrar, eso solo significa que no ha llegado un genio lo suficientemente brillante como para hacerlo, o bien, en Fisica, que hay un concepto o evento de la naturaleza que no conocemos lo suficientemente bien, como el monopolo o los chorros supraluminicos. pero en ningun sentido que la Logica este mal.

Temario del curso

Este fue le temario del curso que se dio en la Facultad de Ciencias de la UNAM, en cuanto tenga tiempo lo hare un curso en linea.

I, Porque demostrar

II. Conceptos basicos

• Gramatica y simbologia, (alfabeto griego, conectores logicos, simbolos matematicos)
• Como leer un postulado matematico
• Diseccion de un Teorema (como leerlo, que es un Teorema, un Axioma y un Corolario)

III. Logica

• Tablas de verdad
• Implicaciones logicas, implica, si y solo si.

III Tecnicas

• Heuristica
• Metodo por Construccion
• Metodo por Seleccion
• Induccion
• Particularizacion
• Contradiccion (reduccion al absurdo)
• Metodo Contrapositivo
• Tecnicas especiales (unicidad, exclusividad, maximos y minimos)

IV Trucos Sucios

• Los mejores trucos
• Progresivo Regresivo
• Operaciones especiales (multiplicar por uno, sumar por cero, separaciones)

V Demostraciones clasicas

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)