Manual de Matematicas, Bronshtein

Metodos Demostrativos: Contrapositivo

El metodo contrapositivo es muy util cuando tenemos que hacer una demostracion del tipo:

A  ⟹ B

"Si esto sucede, ⟹ esto otro sucede,"

Porque hay ocasiones en que es mas facil demostrar que no es cierto algo, que una propiedad no se cumple, que hay una cualidad que no se tiene, etc.

En parametros logicos, este metodo contrapositivo es:

Ejemplos:

1. Un ejemplo en lenguaje comun seria:

Si la estufa esta caliente  ⟹ La comida se calentara

Y el contrapositivo seria:

Si la comida esta fria, ⟹ la estufa esta apagada

2. Si tu novia te hace feliz, ⟹ Te ama

El Contrapositivo sería:

Si no te ama tu novia ⟹ No te quiere hacer feliz

3. Y como siempre, es fundamental un ejemplo matematico:

Demuestre que f(x) es continua sii no tiene hoyos

A: f(x) es continua, ⟹ B: f(x) no tiene hoyos

Asi que hay que negar todo y darle la vuelta:

NO B: f(x) tiene hoyos ⟹ NO A: f(x) no es continua

Y la demostracion seria por construccion, basandose en esta nueva hipotesis.

Demostrar no es resolver

 Hay un error muy comun en el mundo de las Matematicas, se confunde Demostrar con Resolver.

Resolver

Este metodo pertenece al mundo de las Matematicas Aplicadas, y usualmente sigue las reglas de Polya para su Solucion, por cualquier metodo numerico o procedimiento se intenta obtener un resultado, sigamos, si nos encontramos algo asi como Encuentra el Resultado de... o Encuentra la Solucion de... o vemos algo asi como:

∯f(x) dx, con X ∈ ℝⁿ

Casi siempre se busca una solucion numerica a un Problema, y para eso no hay nada mejor que el Metodo de Polya.

Demostrar

En cambio la demostracion pertenece al mundo de la Logica Matematica, aqui usualmente no hay que encontrar un valor numerico (a excepcion de Teoria de Continuidad, ver mas abajo), sino presentar un argumento logico, que demuestre la Verdad de un argumento logico. Usualmente se dice: Demuestre que, y casi siempre se inicia con un Sea...

Pongamos un ejemplo:

Demuestre que un flujo uniforme y continuo es Lagrangiano.

A esto seguira una serie de argumentaciones logicas, cuyo objetivo es usar las definiciones basicas de flujo, uniforme y continuo, para llevarlo por una serie de pasos logicos a que es Lagrangiano, buscamos validar un concepto, no un numero, usamos argumentos demostrativos, no metodos numericos.

Una excepcion notable son las demostarciones de Continuidad, ya que como parte de su metodologia, tenemos que encontrar una Epsilon (cuyo valor siempre es numerico), que nos permite demostrar que podemos crear una Vecindad de radio Epsilon, alrededor de cada punto, en el cual se cumpliran las condiciones de continuidad, esta es una rara mezcla de ambos conceptos, y como el hay varios, pero casi todos pertencen al mundo de la Matematica Teorica Avanzada, cosa que solo se ve en las buenas Facultades de Ciencias, asi que muy pocos lo ven.

Exactitud

Hoy hablaremos de un tema en particular:

SATAN

Este personaje tiene estas cualidades:

• Siempre viste de rojo
• Te tentara con regalos
• Pervertira tu inocencia, alejandote de la bondad y volviendote un adicto al dinero
• Te convertira en esclavo del consumismo
• Desea ser adorado mas que Dios y Jesucristo, particularmente el dia del nacimiento del ultimo
• Viaja en trineo con renos

¡Ah caray!, me equivoque, queria decir

SANTA

Si bien ambas palabras tienen las mismas letras, el acomodo de ellas es diferente, solo un pequeño error que cambia totalmente el significado de las cosas. La exactitud es una caracteristica de la Ciencia, y debemos de aprender a ser  tan exactos como sea posible, y si bien en Fisica no podemos serlo, porque siempre tendremos una incertidumbre al medir la naturaleza, en la Matematica si podemos hacerlo, porque asi se ha construido, es por ello que los Matematicos son tan quisquillosos en cuestion de precision y desarrollo logico.

Y es que en Matematicas siempre habra exactitud, uno mas uno siempre dara dos, y no importa cuantas particiones hagamos, siempre habra una Epsilon que nos defina la vecindad alrededor de un punto, sea este de continuidad, de acumulacion, limite de convergencia o una particion.

La Matematica es una ciencia exacta, por la sencilla razon de que la hemos construido asi, es un producto de la mente humana, quiza el mas complejo y mas abstracto, pero tambien el mas poderoso y el mas util, su buen manejo es obligatorio para un buen cientifico.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)