San Agustin

Las Demostraciones son argumentaciones logicas, cuyo objetivo final es probar una Hipotesis que se ha planteado; existen desde la antigüedad, cuando los Filosofos y Matematicos griegos daban certidumbre a sus planteamientos, algunas de las mas bellas formas de Demostracion antigua se preservaron en forma de Demostraciones Geometricas, ya poseian esa elegancia, esa certidumbre, esa estructura logica.

Los Filosofos conservaron la argumentacion como una forma de probar sus principios, en la antigüedad, particularmetne en la Tradicion Epistemologica Platonica, es interesante ver el uso de la principal herramienta de la Razon por todo tipo de Filosofos.

Entre los mas peculiares esta uno de los padres de la Iglesia, San Agustin, un romano de finales del Imperio Occidental, que planteo los fundamentos de las creencias cristianas occidentales, y pese a que sus conclusiones son Teologicas, sus metodos son demostrativos, su argumentacion es elegante, quizas no tan elevada como la de Santo Tomas, pero sus Argumentos Deductivos son un ejemplo de Logica formal, que todo cientifico apreciaria en la actualidad,

Veamos un ejemplo, basado en De la vida beata (De la vida Feliz), en donde quiere demostrar que los Filosofos Acdemicos no son sabios, usa este argumento::

Si es evidente que no es dichoso el que no posee cuanto quiere. (Hipotesis)

Nadie busca lo que no quiere encontrar; pero ellos buscan constantemente la verdad

Vean el gambito logico que acaba de hacer, una argumentacion basandose en la definicion de Filosofo Academico de esa epoca.

Los Academicos quieren encontrar la Verdad

Pero no la encuentran ( y hasta la fecha no lo han logrado)

No poseen lo que apetecen

No son dichosos

Nadie es sabio si no es dichoso

El Academico no es sabio

QED.

Y asi tenemos un ejemplo que nos permite entender con palabras normales, el proceso de argumentar.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

El Arte de las Demostraciones

La Ciencia tiene la fama de ser aburrida y fria, pero claro, solo por aquellos que no hacen Ciencia, la realidad es muy diferente, esta llena de emocion, de creatividad, de humanidad, uno de los elementos más creativos es la Teoria de Demostraciones.

Hacer una Demostracion, es un acto de creatividad, ciertamente que se basa en una fria teoria matematica, en sus axiomas y sus teoremas, pero es una construccion creativa, tan unica, que hasta se puede decir a que autor pertenece, no hay dos demostraciones iguales.

Como una obra de arte, una Demostracion puede analizarse desde el punto de vista estetico, hay Demostraciones elegantes y contundentes, la maestria del autor puede apreciarse desde los planteamientos y argumentaciones, un gran genio puede hacer una en un parrafo, o bien un alumno de primer semestre puede dar vueltas y vueltas y termina haciendo una cantinfleada.

Es un Arte que se aprende, usualmente practicando y viendo a los genios, ver al Dr Graef haciendo una Demostración era como ver pintar a Da Vinci, al termnar una demostración de Relatividad, daban ganas de levantarse y aplaudir, en ese sentido, cuando somos alumnos, somos simples aprendices del Arte de Demostrar.

Y tenemos grandes artistas a imitar, estudiamos con cuidado la gran Tecnica de Sears o Courant, podria decirse que aprendemos trazo a trazo, a tomar el cincel mental, a pulir el marmol de los Teoremas, esculpimos simples copias para aprender a esculpir, pero nuestras herramientas son la abstraccion y los conocimientos, cada semestre mejoramos, hasta llegar a donde nuestras habilidades nos permiten,

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

Problem Solving with George Polya

Solucionar un problema matematico, NO ES DEMOSTRAR, son dos caminos totalmente diferentes de tratar con las Matematicas, y un buen Fisico debe de conocer los dos, asi como somos capaces de encontrarle un numero a un angulo de un Prisma, tambien debemos de poder Demostarar la validez de las Leyes de la Optica.

Regresaremos pronto

Temario del curso

Este fue le temario del curso que se dio en la Facultad de Ciencias de la UNAM, en cuanto tenga tiempo lo hare un curso en linea.

I, Porque demostrar

II. Conceptos basicos

• Gramatica y simbologia, (alfabeto griego, conectores logicos, simbolos matematicos)
• Como leer un postulado matematico
• Diseccion de un Teorema (como leerlo, que es un Teorema, un Axioma y un Corolario)

III. Logica

• Tablas de verdad
• Implicaciones logicas, implica, si y solo si.

III Tecnicas

• Heuristica
• Metodo por Construccion
• Metodo por Seleccion
• Induccion
• Particularizacion
• Contradiccion (reduccion al absurdo)
• Metodo Contrapositivo
• Tecnicas especiales (unicidad, exclusividad, maximos y minimos)

IV Trucos Sucios

• Los mejores trucos
• Progresivo Regresivo
• Operaciones especiales (multiplicar por uno, sumar por cero, separaciones)

V Demostraciones clasicas

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

Metodos Demostrativos

Los principales metodos demostrativos son:

1. Metodo Constructivo  
   
2. Metodo Progresivo-Regresivo 
   
3. Particularizacion  
   
4. Seleccion  
   
5. Induccion  
   
6. Vacuidad    
   
   
   
7. Transitividad    
   
8. Reduccion al absurdo    
   
9. Contrapositivo 
   
   
   

En este momento solo tengo tiempo de presentarles formalmente cuales son los principales metodos, poco a poco los ire desarrollando.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

Que es un Teorema o el Sheik corteja a su amada

Un Teorema es una verdad matematica que debe de ser demostrada para ser valida, a la cual se ha llegado por medio de varios axiomas y teoremas previos, los cuales se pueden usar para demostrar su validez.

Esto es primero se establecen una serie de Axiomas y procedemos a combinarlos, para obtener conceptos matematicos mas elaborados, y coherentes, que nos lleven a una afirmacion matematica mucho mas compleja.

Por ejemplo, si tomamos los siguientes Axiomas:

• 1 Las mujeres son bonitas
• 2 Los hombres y las mujeres son diferentes
• 3 A las mujeres les gustan las flores
• 4 A las mujeres les gustan los hombres seguros
• 5 A los hombres les gustan las mujeres
• 6 Existe el noviazgo
• 7 Existe la felicidad.
• 8 A las mujeres les gustan los chocolates
• 9 A las mujeres les agradan los hombres inteligentes.
• 10 A las mujeres les gustan las poesias
• 11 Las parejas disfrutan de pasar tiempo juntos

Entonces podremos hacerle un Teorema a nuestro amigo el Sheik:

Si el Sheik corteja a una mujer, esta sera su novia y el sera feliz

Esto podemos plantearlo como un Teorema de la forma:

En donde el antecedente A es que el Sheik cortejara a una mujer y el primer consecuente B es que ella sera su novia y el segundo consecuente C es que esto lo hara Feliz.

Siempre que veamos la palabra Teorema, este vendra acompañado de la palabra Demostracion, que es la argumentacion matematica necesaria para comprobar que el Teorema sea Verdadero.

Asi que:

Demostracion:

El Sheik cortejara a una mujer.

Usualmente primero vemos que significan los terminos basicos, El Sheik ya lo conocemos, es el personaje que nos guiara en el curso, el concepto de mujer tambien podemos definirlo con precision, asi que solo falta entender la palabra Cortejar.

Bien tomemos nuestra lista de Axiomas, el 5 nos dice que al Sheik le gustan las mujeres, mientras que el 3, 4 y 8 nos dicen que le gusta a las mujeres, asi que usemoslos.

Sea el Sheik, que le gustan las mujeres.

Un dia llegara con la elegida de su corazon, con la actitud de Rodolfo Valentino en la pelicula llamada como el (Axioma 4), incluyendo la ceja levantada y la actitud de aqui solo mis chicharrones truenan, con un gran ramo de flores (axioma 3), y una caja de chocolates (axioma 8), y se pone a platicar con ella del tema favorito de su amada, y en la charla intercalara alguna poesia de Walt Whitman y de Lord Byron (Axiomas 7, 9 y 10).  (Esto es lo que significa cortejar)

Se repite la accion anterior (demostracion por induccion), hasta que la susodicha queda prendada del Sheik.

El Sheik podra pedirle que sea su novia

Queda demostrado 

Ahora usando esto como precedente o hipotesis, procedemos a demostrar que esto  lo hara feliz.

Usando el axioma 6, ya que el Sheik y su amada son novios

Por el axioma 11 disfrutan pasar tiempo juntos

Son felices, ya que la felicidad es disfrutar de la vida juntos.

QED.

Y asi acaban de ver su primera demostracion, no es exacta, ni pretendo que lo sea, solo es una forma heuristica de que vean como se hace una argumentacion en base a axiomas.

Como se daran cuenta, no he usado los axiomas 1 y 3, porque no fueron necesarios, la discriminacion de que axiomas usaremos y cuales no, depende de cuales nos resulten utiles en nuestra demostracion, el orden en el que aparecen los axiomas a usar depende de nuestro proceso racional, es por ello que no siempre dos demostraciones pueden ser iguales, y apareceran cuando nos vengan a mano, nos convengan o sean utiles.

Y como ultimo comentario, el porque uso un axioma y en que momento lo uso es la escencia del razonamiento matematico, el cual solo se adquiere por medio de la practica, en este sentido las demostraciones son mas parecidas a la pintura o a las sinfonias, nuestra primera pintura sera tecnicamente imperfecta, la segunda mejorara un poco, la tercera aun mas, para cuando hayamos hecho cincuenta, ya podremos hacerlas con maestria, elegir que colores queremos y como, asi que les recomiendo que agarren un buen libro como el Stein o el Pishkunov y se pongan a ver demostraciones, no que estan demostrando, sino como lo estan haciendo, y si son de primer semestre, tomen el primer capitulo de cuanto libro basico encuentren y hagan lo mismo, nadie nace siendo Van Gogh, lo importante es que adquieran un minimo de madurez matematica, tan rapido como puedan.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)