Axioma

Un axioma se define como una verdad tan evidente, que no es necesario demostrarla, en cierto sentido son los ladrillos basicos sobre los que construimos toda la teoria, en particular los axiomas son simples, claros y evidentes, o bien se elaboran como un acuerdo entre los diferentes miembros de la comunidad.

Esto es, primero se establecen una serie de definiciones basicas, comunes a todos, con una nomenclatura comun, de tal forma que todos los miembros de la comunidad matematica puedan comunicarse entre si, comprender lo que estan haciendo y basar sus construcciones teoricas en conocimiento comun.

En cierto sentido, utilizar los axiomas mas utiles a lo largo de una demostracion es un arte, y esta relacionado a poder comprender muy bien lo que estamos haciendo para saber en que momento nos es util algun axioma, como cuando se esta ensamblando un modelo para armar y decides que es momento de agregar o pintar alguna pieza.

Uno de los errores mas comunes en el aprendizaje de la Teoria de Demostraciones es que se puede cometer el error de intentar demostrar un axioma, por ejemplo ax0=0, como no hay argumentos mas basicos para hacerlo, suele caerse en una Cantinfleada, para intentar demostrarlo.

Un Axioma no siempre es una Definicion, de esta hablare mas tarde.

Autor: Sergio Tellez

Exactitud

Hoy hablaremos de un tema en particular:

SATAN

Este personaje tiene estas cualidades:

• Siempre viste de rojo
• Te tentara con regalos
• Pervertira tu inocencia, alejandote de la bondad y volviendote un adicto al dinero
• Te convertira en esclavo del consumismo
• Desea ser adorado mas que Dios y Jesucristo, particularmente el dia del nacimiento del ultimo
• Viaja en trineo con renos

¡Ah caray!, me equivoque, queria decir

SANTA

Si bien ambas palabras tienen las mismas letras, el acomodo de ellas es diferente, solo un pequeño error que cambia totalmente el significado de las cosas. La exactitud es una caracteristica de la Ciencia, y debemos de aprender a ser  tan exactos como sea posible, y si bien en Fisica no podemos serlo, porque siempre tendremos una incertidumbre al medir la naturaleza, en la Matematica si podemos hacerlo, porque asi se ha construido, es por ello que los Matematicos son tan quisquillosos en cuestion de precision y desarrollo logico.

Y es que en Matematicas siempre habra exactitud, uno mas uno siempre dara dos, y no importa cuantas particiones hagamos, siempre habra una Epsilon que nos defina la vecindad alrededor de un punto, sea este de continuidad, de acumulacion, limite de convergencia o una particion.

La Matematica es una ciencia exacta, por la sencilla razon de que la hemos construido asi, es un producto de la mente humana, quiza el mas complejo y mas abstracto, pero tambien el mas poderoso y el mas util, su buen manejo es obligatorio para un buen cientifico.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

La Continuidad en la vida diaria

Casi siempre nos preguntamos el porque tenemos que estudiar tan a profundidad el tema de Continuidad, parece tan complejo, tan formal y a la vez tan alejado de la realidad que no pocos maestros y estudiantes lo consideran solo un mal necesario.

Pero no lo es, en realidad el buen aprendizaje de un tema tan arido y dificil es muy necesario, primero, porque es en esas profundidades formales donde se prueban nuestras habilidades y son conocimientos que siempre seguiremos usando, las acotaciones, las distancias y toda la parafernalia asociada nos dan madurez matematica, la cual solo se adquiere por este camino.

Pero mucho mas importante, nuestro mundo funciona asi, la continuidad esta por todas partes, nuestro reloj avanza sin brincarse un solo segundo, no hay huecos en el espacio temporal, nuestra vida tiene que recorrer cada uno de ellos, y lo mas curioso, parece ser que el tiempo no solo es continuo, sino que recorre el eje en una sola direccion, solo avanza, pero nadie ha visto un segundo negativo.

Nuestra percepcion de la realidad inmediata tambien es continua, el cielo, el mar, los fenomenos mecanicos, termicos o electricos son continuos, una fuerza no deja de aplicarse cuando le de la gana, ¿se imaginan que la Gravedad fuese discontinua?, todos saldriamos volando por el espacio justo en ese momento, o bien si los fluidos fuesen discontinuos, encontrariamos huecos vacios en el mar, o burbujas de Nada en el aire, cuidado de caer en una, porque nos asfixiariamos inmediatamente. Lo mismo puede decirse de los campos magneticos, electricos o gravitacionales.

La continuidad es una hipotesis fundamental, no solo en el Calculo, sino en la Fisica Clasica, es parte de la definicion basica de sistema homogeneo y lineal, seria imposible derivar e integrar sin este concepto, y simplemente seguiriamos viviendo con la tecnologia del siglo XVII si nunca se hubiese definido ese concepto; de hecho, la sola idea de que la energia es discontinua fue el motor que provoco todo el desarrollo de la Fisica Moderna.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

Para todo, la grandeza del absoluto

La gran fuerza de la matematica es que establece leyes que se pueden aplicar en todo el Universo conocido, un Teorema es valido, aqui, en China o en la proxima Galaxia, eso es lo que le da tanta fuerza como herramienta para conocer y entender nuestra realidad.

 Cuando uno afirma que una condicion se cumple siempre, se usa el simbolo Para Todo:

La forma de usar esta definicion se define un conjunto, se dice que todo elemento del conjunto cumple cierta condicion

Recuerdese bien, TODOS los elementos del conjunto E, deben de cumplir la condicion, no debe de faltar ninguno.

Se cumple tal o cual, es una definicion de propiedad sobre todos los elementos del conjunto. Usualmente se usa para definir conceptos, donde YO defino cuales cumplen la condicion que deseo.

Contrario a Existe

Heuristica:

Si el Sheik va a un Table y muestra una billetera repleta de dinero, TODAS las mujeres del lugar tenderan a estar cerca de el. O bien un ejemplo menos mundano, si dejo caer cualquier gis desde mi mano, en cualquier parte del planeta tierra, este caera al piso.

Ejemplo.

En la definicion de Continuidad tenemos que:

Aqui el termino:

Significa que para cualquier distancia que yo imagine,  epsilon, tan pequeña como yo desee, (casi cero, pero jamas cero, porque es una distancia), encontrare una delta que cumplka las condiciones que siguen.

Autor: Sergio Tellez Morales

Truco sucio, Sumando Cero

Otro de los trucos sucios mas utiles es el de sumar Cero, pero un cero muy especial, que nos permita transformar lo que estamos haciendo en algo mas manejable.

El truco usual es reacomodar lo que estamos demostrando de tal forma que en alguna parte del proceso podamos acomodar las cosas, de tal forma que tomemos del cero lo que necesitamos y dejemos lo que no queremos, asi solo nos quede el consecuente.

Autor: Sergio Tellez Morales

Epsilon, ¿que es? y porque queremos encontrarla

La Epsilon es un concepto matematico que significa lo mas pequeño que uno pueda imaginar, es algo asi como el inverso de infinito, como todo estudiante sabe, el concepto de infinito es la cantidad mas grande que pueda imaginar, pero con la plena certeza de que hay un numero mas grande que ese, en este caso, la epsilon es lo mas pequeño que se pueda uno imaginar, pero sabiendo que existe un numero aun menor.

Es muy util cuando se usa para medir distancias, porque en ese caso uno puede decir que se puede aproximar tanto como uno desee a algo, usualmente al cero:

Cuando estamos en el Calculo, usualmente deseamos encontrar epsilones, la razon, simple, con las distancias podemos acotar diferencias con ellas, y cuando una diferencia de dos cosas se hace tan pequeña como queramos, entonces podemos afirmar que ambas cosas son una misma, o bien, si decimos que podemos acercar una funcion tanto como querramos a un punto dado, podemos afirmar que esta tiende a un limite dado, o a que una derivada cumple las condiciones estrictas para ser derivada. O bien en sucesiones, cuando definimos la Convergencia de Cauchy, la hacemos por medio de una Epsilon, diciendo que si hay un termino de la sucesion, a partir del cual, las distancias entre cualesquiera dos terminos subsecuentes son tan pequeñas como nosotros querramos, entonces la sucesion converge, es importantisimo encontrar la Epsilon para demostrar que la sucesion converge o que la funcion es continua o que el limite existe o que la diferencia de areas de dos curvas es tan pequeña como querramos, o lo que nosotros querramos definir.

Es en esta forma que el concepo de epsilon se vuelve muy util, al encontrarla, estamos mostrando que una distancia puede ser tan pequeña como querramos, tan pequeña que puede ser casi cero, y de esta forma estamos Validando la afirmacion matematica que estemos haciendo.

Autores: Mat Josefina Santiago Muñoz y Cap. Sergio Tellez USN (Ret)

Mathematica 1 Carta de fuentes

Una rapida vista de la Fuente Mathematica 1, ordenada de acuerdo al teclado latinoamericano.