Demostracion Geometrica Clasica

La Demostracion Geometrica clasica hace uso de dos herramientas, la Regla y el Compas, el razonamiento es logico estructurado, mas cercano a la Filosofia, que a la moderna Matematica, porque es mucho mas puro.

Pongamos un ejemplo:

Demostrar que el punto medio de la hipotenusa de un Triangulo rectangulo es equidistante de sus tres vertices.

Aqui hay que tomar en consideracion varios Axiomas:

1. En un circulo, sus radios son del mismo tamaño, esto nos sirve para cuando oimos la palabra equidistante, sabemos que hay una circunferencia asociada.
2. Las distancias se trtazan sobre radios o la diagonal.
3. Los asociados a los triangulos en general.

Demostración

Esta se hara por construccion geometrica:

1. Construimos el triangulo rectangulo:

Lo hacemos dentro de una circunferencia que nos convenga, el punto medio de la hipotenusa nos conviene colocarlo al centro, ya que de esta forma, tenemos dos radios iguales:

Ahora desde el centro levantamos una perpendicular a la diagonal, para encontrar el otro vertice del triangulo

Como se ve, hemos creado dos triangulos rectangulos ΔAOB y ΔBOC, cuyos catetos son congruentes y todos valen r, tienen los mismos angulos rectos, y por ser isosceles, sus ángulos son todos α.

Hasta el momento solo hemos construido juiciosamente nuestra figura, ahora procedamos con la demostracion

2. Demostremos que es rectangulo:

El ΔAOB es rectángulo e isosceles

⇒

La suma de sus angulos debe de dar 180°

Esto es:

α + α + 90° = 180°

2α + 90° = 180°

Asi que

α = 45°

Como el angulo del vertice C es de 2α y

2α = 90°

⇒

ΔACB es rectangulo

Paso 3 Demostrar equidistancia

Como el Punto Medio es el Centro de la Circunferencia y los tres vertices del triangulo esta a un radio de distancia de el

⇒

Son equidistantes

⊡QED

Sergio Téllez

Lakatos vs Kuhn a tres caidas sin limite de tiempo.

Es mas facil que un Cientifico entienda Filosofia a que un Filosofo entienda Ciencia, porque nosotros construimos todo con Logica, es una herramienta basica, el mejor ejemplo, son las Demostraciones, tienen incrustadas en ellas ideas muy profundas, pero las manejamos tan regularmente que hasta nos olvidamos que estan ahi.

Una buena demostracion debe de convencernos de que un Concepto, una Teoria o incluso una nueva Idea, tienen sentido, el andamiaje basico de cualquier Teoria se basa en que sea Consistente entre todas sus partes, que de unos principios basicos podamos derivar Matematicamente los demas, o bien que si creamos una nueva idea, este bien construida; pongamos un ejemplo, la Relatividad Especial, para que podamos respetar que No se puede Viajar a mas de C, Einstein tuvo que hacer circo, maroma y teatro para que sus ecuaciones de movimeinto fueran consistentes.

El principal Filosofo de la Ciencia en la actualidad es Kuhn, sobre el basamos nuestro trabajo, pero sin embargo es muy complejo, tanto, que es incomprensible para la mayoria de los Filosofos, los cuales han optado por Lakatos, que goza de gran popularidad en ese campo, pese a que sus ideas fueron rechazadas por la Comunidad Cientifica desde hace lustros, pero tiene la ventaja de ser facilmente entendible, lo que lo ha hecho muy popular.

Leer a Lakatos es divertidisimo, te ries en practicamente cada pagina, porque es obvio que nunca entendio lo que hacemos en Matematicas, presenta las mismas objeciones al Metodo Demostrativo que los estudiantes de Primer Semestre; tanto asi, que alguna vez, un alumno me hizo una pregunta que podria resumir el Falsacionismo en ella, ¿que tal si la demostracion no da el resultado que esperamos?, bueno, eso regularmente es la consecuencia de hacerla mal, las Demostraciones son un Arte, hay elevados Boticellis y horribles Cuevas, hay algunas faciles y otras dificiles, pero yo tengo la seguridad de que si bien hay cosas que no se han podido demostrar, eso solo significa que no ha llegado un genio lo suficientemente brillante como para hacerlo, o bien, en Fisica, que hay un concepto o evento de la naturaleza que no conocemos lo suficientemente bien, como el monopolo o los chorros supraluminicos. pero en ningun sentido que la Logica este mal.

Demostraciones y Conjuntos

La Teoria de Conjuntos es un concepto realmente reciente, que se ha intentado expander a otros campos y no siempre ha servido y en algunos de plano se ve incrustada a la fuerza, pero en la Teoria de las Demsotraciones ha quedado como guante.

Usualmente una Demostracion es un proceso lógico, en la que presentamos Argumentaciones para obtener un Resultado que respete la Lógica. debe de ser clara y convincente y su objetivo es verificar una Aseveracion..

Pero es un Arte, que si bien tiene Tecnicas, requiere que se manejen con soltura, todo pintor debe aprender a usar el pincel, pero no todos llegaran a tener la habilidad de Miguel Angel.

Solow en su libro de Demostraciones ha sistematizado la Teoria en base a los Conjuntos, desde una perspectiva muy util, despues de todo si queremos demostrar que:

Casi siempre pasamos por alto, lo mas obvio, tanto A como B pueden ser conjuntos o elementos de ellos, asi que las relaciones logicas se establecen entre los elementos de dos conjuntos, y Solow establecio una relacion entre la Tecnica demostrativa a usar y las propiedades del Conjunto a demostrar, asi por ejemplo establece que usemos el Metodo por Particularizacion si:

Y sucesivamente va asociando las Tecnicas demostrativas, con las cualidades que requerimos del conjunto que nos conviene. Claro que no todas las demostraciones pueden realizarse asi, por ejemplo las Geometricas; pero su trabajo ayuda bastante, en una entrada anterior ya describi las Tecnicas demostrativas en base al cuantificador.

Por otro lado, la Teoria de Conjuntos debe de manejarse a un nivel avanzado para poder comprender estas sutilezas, como por ejemplo, identificar si es un Para Todo  ∀ o un Existe ∃, o mas interesante, ¿qué hacer si el Existe esta en el antecedente?

Autor Sergio Tellez

¿Que es una Demostracion? Versión Pragmatica

Def.

Es la forma argumentativa de desarrollar un Proceso Lógico del tipo:

En el cual una Hipótesis Matemática A es transformada en un Consecuente B, por medio de una Relacion Logica, (la flecha), y sirve para Verificar un concepto Matemático.

 Para hacerlo se usan Argumentos, ya sean axiomas, teoremas, corolarios, o cualquier tipo de construccion logica que nos sea util, usualmente se va construyendo la demostracion, por una serie de argumentaciones que transforman logicamente A en B.

 Hay varias Técnicas para hacerlo, las cuales son:

• Método Progresivo-Regresivo
• Método por Consrucción
• Método por Selección
• Inducción
• Partícularización
• Método por Contradicción
• Método Contrapositivo
• Con Regla y Compás, (clásico griego)
• Geométrico
• Método Numérico.

 Se que esta definicion mas parece que te preguntan que es el mar y respondes explicando como remar, pero cuando tu buque se esta hundiendo. esta es la definicion mas necesaria; de la misma forma, como estudiante de primeros semestres de Fisica, Matematicas o Actuaria, esta es la mejor Definicion, poque es operativa, son por asi decirlo las tecnicas artisticas que te permiten pasar de pintar monitos de rayitas a la Gioconda.

 

Ya despues hablaremos de otras mas formales, tanto en Matematicas como en Filosofia, asi como su importancia dentro de la Creacion de la Ciencia Moderna, en lo que no desperdiciare tiempo, es en el enfoque de Lakatos o Feyerabend, que pese a su popularidad en Filosofia, son absolutamente inutiles en Ciencias.

Los disfraces del Uno

No es raro que cuando estemos demostrando, tengamos que convertir una cosa, en otra, como un polinomio en un monomio, o una expresion exponencial en algo mas simple, para transformar lo que nos estorba en un desarrollo hay una herramienta utilisima, multiplicar todo por uno.

Como sabemos bien:

A x 1 = A

La Identidad Multiplicativa, una de esas coas que vemos siempre en las propiedades y que raramente nos llaman la atencion, pues bien en este momento es cuando nos sera muy util, esto significa que cualquier cosa multiplicada por uno, sigue siendo la misma cosa, aunque claro, depende de como expresemos ese uno.

Porque un uno puede ser algo asi como:

1

Sen X / Sen X

sen² x + cos ² x

eˣ Senh (dV/dt) + ln (Σxᶰ )ˣ / eˣ Senh (dV/dt) + ln (Σxᶰ )ˣ

Monstruo / Monstruo

La habilidad radica en encontrar una que nos sirva para simplificar nuestro desarrollo, que convierta todo en algo mas manejable.

Cantinfleadas

Una demostracion que no demuestra nada y que solo repite argumentos logicos, sin ningun orden, es lo que yo llamo una cantinfleada, las mas comunes son los intentos por demostrar cosas que no es posible demostrar, como por ejemplo los Axiomas, asi cuando uno dice:

El Agua Moja

Usualmente no hay que hacer una gran elucubracion teorica en Mecanica de Fluidos, solo basta meter la mano en la pileta (o ver un calendario de porristas lavando un auto, eso se deja al gusto del demostrador), y queda resuelta la cuestion.

Sin embargo hay matematicos gazmoños que les gusta demasiado rizar el rizo y desean demostrar cosas que son tan obvias como:

A×0=0

Y cuando intentas demostrar un axioma, solo haces una cantinfleada.

Regresaremos pronto